Александар Мељников је завршио студије на Московском конзерваторијуму у класи професора Лева Наумова. Један од најзначајнијих момената у његовом музичком образовању у Москви је рани сусрет са Свјатославом Рихтером, који га је након тога редовно позивао на фестивале у Русији и Француској. Добитник је значајних награда на угледним такмичењима као што су Међународно такмичење Роберт Шуман у Цвикауу (1989) и такмичење Краљице Елизабете у Бриселу (1991).

Познат по својим често необичним уметничким и програмским концептима, Александар Мељников је рано развио интересовање за историјски информисане извођачке праксе, чему је остао доследан током читаве своје каријере. Његови главни узори у овој области су Андреас Штајер и Алексеј Љубимов. Мељников редовно наступа са истакнутим ансамблима као што су Фрајбуршки барокни оркестар, оркестар musicAeterna, и Академија за стару музику из Берлина.

Као солиста, Мељников је наступао са оркестрима као што су Краљевски оркестар Концертгебау из Амстердама, Гевандхаус оркестар из Лајпцига, Филаделфијски оркестар, Симфонијски оркестар Севернонемачког радија из Хамбурга, Симфонијски оркестар Франкфуртског радија, Минхенска филхармонија, Ротердамска филхармонија и Симфонијски оркестар Би-Би-Сија, под диригентском палицом Михаила Плетњова, Теодора Куренциса, Шарла Дитоаа, Пава Јарвија, Томаса Даусгарда, Максима Емељанчева и Владимира Јуровског.

Заједно са Андреасом Штајером, Александар Мељников је снимио јединствени програм Шубертових дела за четири руке, који су такође изводили на концертима. Суштински део његовог рада су интензивне камерне сарадње са партнерима као што је виолончелиста Жан-Гијен Кејрас.

Мељников је остварио сарадњу са издавачком кућом Хармонија Мунди снимајући са виолинисткињом Изабел Фауст, а 2010. године њихов интегрални снимак Бетовенових соната за виолину и клавир освојио је награду Грамофон. Овај албум, који је постао референтни снимак ових композиција, био је такође номинован и за Греми награду. Њихова најновија издања обухватају Брамсове и Моцартове сонате за виолину и клавир.

Мељников снимак Прелудијума и Фуга Шостаковича освојио је награду Музичког магазина Би-Би-Си-ја, награду Choc de Classica и Награду немачких музичких критичара. Године 2011, Музички магазин Би-Би-Сија је прогласио овај снимак једним од 50 најбољих издања свих времена. Дискографија Мељникова такође укључује дела Брамса, Рахмањинова, Шостаковича и Скрјабина. Заједно са Изабел Фауст, Жан-Гијен Кејрасом, Паблом Херас-Касадом и Фрајбуршким барокним оркестром, Мељников је снимио албум са делима Шумана и Бетовена. Остала издања укључују интегрални снимак клавирских соната Прокофјева, те Четири комада, четири клавира, издат 2018. године и високо оцењен од стране критике. Након тога, 2023. године уследио је и нови албум Фантазија – седам композитора, седам клавијатура, на којем Мељников програм тумачи на инструментима из епоха у којима су композиције на овом издању и настале.

Врхунац сезоне 2023/24 је концертна турнеја Александра Мељникова у Аустралији са Симфонијским оркестрима из Мелбурна и Сиднеја, затим његова резиденција као Уметник у фокусу у Келнској филхармонији, наступи са оркестром Франсоа-Гзавијеа Рота Les Siècles (Векови), концерти са оркестрима као што су Баварски државни оркестар, Симфонијски оркестар из Атланте, Симфонијски оркестар Финског радија, Лондонска филхармонија, Камерни оркестар Малер, Минхенски камерни оркестар, или барокни оркестар Б-Рок из Белгије, као и сарадње са Максимом Емељанчевим, Ањом Билмајер, Владимиром Јуровским, Николасом Колоном и Осмом Ванском, између осталих.

Александар Мељников такође наставља да се бави камерном музиком свирајући у различитим ансамблима, са музичарима међу којима су Изабел Фауст, Антоан Таместит и Жан-Гијен Кејрас, а са њима наступа у Филхармонији у Паризу, Филхармонији Луксембурга, Филхармонији у Келну, Музикгебауу у Амстердаму, Моцартеуму у Салцбургу, на Музикфесту у Берлину, на Рурском клавирском фестивалу и у Вигмор Холу у Лондону.

Солистички концерти у Берлинској филхармонији, Топан Холу у Токију, Вигмор Холу, Музикгебауу у Амстердаму или Принц Регентен Театру у Минхену, заокружио је најскорију сезону Александра Мељникова.