Aleksandar Meljnikov je završio studije na Moskovskom konzervatorijumu u klasi profesora Leva Naumova. Jedan od najznačajnijih momenata u njegovom muzičkom obrazovanju u Moskvi je rani susret sa Svjatoslavom Rihterom, koji ga je nakon toga redovno pozivao na festivale u Rusiji i Francuskoj. Dobitnik je značajnih nagrada na uglednim takmičenjima kao što su Međunarodno takmičenje Robert Šuman u Cvikauu (1989) i takmičenje Kraljice Elizabete u Briselu (1991).

Poznat po svojim često neobičnim umetničkim i programskim konceptima, Aleksandar Meljnikov je rano razvio interesovanje za istorijski informisane izvođačke prakse, čemu je ostao dosledan tokom čitave svoje karijere. Njegovi glavni uzori u ovoj oblasti su Andreas Štajer i Aleksej Ljubimov. Meljnikov redovno nastupa sa istaknutim ansamblima kao što su Frajburški barokni orkestar, orkestar musicAeterna, i Akademija za staru muziku iz Berlina.

Kao solista, Meljnikov je nastupao sa orkestrima kao što su Kraljevski orkestar Koncertgebau iz Amsterdama, Gevandhaus orkestar iz Lajpciga, Filadelfijski orkestar, Simfonijski orkestar Severnonemačkog radija iz Hamburga, Simfonijski orkestar Frankfurtskog radija, Minhenska filharmonija, Roterdamska filharmonija i Simfonijski orkestar Bi-Bi-Sija, pod dirigentskom palicom Mihaila Pletnjova, Teodora Kurencisa, Šarla Ditoaa, Pava Jarvija, Tomasa Dausgarda, Maksima Emeljančeva i Vladimira Jurovskog.

Zajedno sa Andreasom Štajerom, Aleksandar Meljnikov je snimio jedinstveni program Šubertovih dela za četiri ruke, koji su takođe izvodili na koncertima. Suštinski deo njegovog rada su intenzivne kamerne saradnje sa partnerima kao što je violončelista Žan-Gijen Kejras.

Meljnikov je ostvario saradnju sa izdavačkom kućom Harmonija Mundi snimajući sa violinistkinjom Izabel Faust, a 2010. godine njihov integralni snimak Betovenovih sonata za violinu i klavir osvojio je nagradu Gramofon. Ovaj album, koji je postao referentni snimak ovih kompozicija, bio je takođe nominovan i za Gremi nagradu. Njihova najnovija izdanja obuhvataju Bramsove i Mocartove sonate za violinu i klavir.

Meljnikov snimak Preludijuma i Fuga Šostakoviča osvojio je nagradu Muzičkog magazina Bi-Bi-Si-ja, nagradu Choc de Classica i Nagradu nemačkih muzičkih kritičara. Godine 2011, Muzički magazin Bi-Bi-Sija je proglasio ovaj snimak jednim od 50 najboljih izdanja svih vremena. Diskografija Meljnikova takođe uključuje dela Bramsa, Rahmanjinova, Šostakoviča i Skrjabina. Zajedno sa Izabel Faust, Žan-Gijen Kejrasom, Pablom Heras-Kasadom i Frajburškim baroknim orkestrom, Meljnikov je snimio album sa delima Šumana i Betovena. Ostala izdanja uključuju integralni snimak klavirskih sonata Prokofjeva, te Četiri komada, četiri klavira, izdat 2018. godine i visoko ocenjen od strane kritike. Nakon toga, 2023. godine usledio je i novi album Fantazija – sedam kompozitora, sedam klavijatura, na kojem Meljnikov program tumači na instrumentima iz epoha u kojima su kompozicije na ovom izdanju i nastale.

Vrhunac sezone 2023/24 je koncertna turneja Aleksandra Meljnikova u Australiji sa Simfonijskim orkestrima iz Melburna i Sidneja, zatim njegova rezidencija kao Umetnik u fokusu u Kelnskoj filharmoniji, nastupi sa orkestrom Fransoa-Gzavijea Rota Les Siècles (Vekovi), koncerti sa orkestrima kao što su Bavarski državni orkestar, Simfonijski orkestar iz Atlante, Simfonijski orkestar Finskog radija, Londonska filharmonija, Kamerni orkestar Maler, Minhenski kamerni orkestar, ili barokni orkestar B-Rok iz Belgije, kao i saradnje sa Maksimom Emeljančevim, Anjom Bilmajer, Vladimirom Jurovskim, Nikolasom Kolonom i Osmom Vanskom, između ostalih.

Aleksandar Meljnikov takođe nastavlja da se bavi kamernom muzikom svirajući u različitim ansamblima, sa muzičarima među kojima su Izabel Faust, Antoan Tamestit i Žan-Gijen Kejras, a sa njima nastupa u Filharmoniji u Parizu, Filharmoniji Luksemburga, Filharmoniji u Kelnu, Muzikgebauu u Amsterdamu, Mocarteumu u Salcburgu, na Muzikfestu u Berlinu, na Rurskom klavirskom festivalu i u Vigmor Holu u Londonu.

Solistički koncerti u Berlinskoj filharmoniji, Topan Holu u Tokiju, Vigmor Holu, Muzikgebauu u Amsterdamu ili Princ Regenten Teatru u Minhenu, zaokružio je najskoriju sezonu Aleksandra Meljnikova.