Aleksandar Meljnikov je završio studije na Moskovskom konzervatorijumu u klasi profesora Leva Naumova. Najznačajniji momenti u njegovom muzičkom obrazovanju u Moskvi uključuju rani susret sa Svjatoslavom Rihterom, koji ga je nakon toga redovno pozivao na festivale u Rusiji i Francuskoj. Dobitnik je značajnih nagrada na uglednim takmičenjima kao što su Međunarodno takmičenje Robert Šuman u Cvikauu (1989) i takmičenjе Kraljice Elizabete u Briselu (1991).

Poznat po svojim često neobičnim muzičkim i programskim potezima, Aleksandar Meljnikov je rano razvio interesovanje za istorijski informisane izvođačke prakse, čemu je ostao dosledan tokom čitave svoje karijere. Njegovi glavni uzori u ovoj oblasti su Andreas Štajer i Aleksej Ljubimov. Meljnikov redovno nastupa sa istaknutim ansamblima kao što su Frajburški barokni orkestar, orkestar musicAeterna, i Akademija za staru muziku iz Berlina.

Kao solista, Aleksandar Meljnikov je nastupao sa orkestrima kao što su Kraljevski orkestar Koncertgebau iz Amsterdama, Gevandhaus orkestar iz Lajpciga, Filadelfijski orkestar, Simfonijski orkestar Severnonemačkog radija iz Hamburga, Simfonijski orkestar Frankfurtskog radija, Minhenska filharmonija, Roterdamska filharmonija i Simfonijski orkestar Bi-Bi-Sija, pod dirigentskom palicom Mihaila Pletnjova, Teodora Kurencisa, Šarla Ditoaa, Pava Jarvija, Tomasa Dausgarda, Maksima Emeljančeva i Vladimira Jurovskog.

Zajedno sa Andreasom Štajerom, Aleksandar Meljnikov je snimio jedinstveni program Šubertovih dela za četiri ruke, koji su takođe izvodili na koncertima. Suštinski deo Meljnikovog rada su intenzivne kamerne saradnje sa partnerima kao što je violončelista Žan-Gijen Kejras.

Aleksandar Meljnikov je ostvario saradnju sa izdavačkom kućom Harmonija Mundi preko svoje redovne resitalne partnerke, violinistkinje Izabel Faust, a 2010. godine njihov integralan snimak Betovenovih sonata za violinu i klavir osvojio je nagradu Gramofona. Ovaj album, koji je postao referentni snimak ovih kompozicija, bio je takođe nominovan i za Gremi nagradu. Njihova najnovija izdanja obuhvataju Bramsove i Mocartove sonate za violinu i klavir.

Meljnikov snimak Preludijuma i Fuga Šostakoviča osvojio je nagradu Muzičkog magazina Bi-Bi-Si-ja, nagradu Choc de Classica i Nagradu nemačkih muzičkih kritičara. Godine 2011, Muzički magazin Bi-Bi-Sija je proglasio ovaj snimak jednim od 50 najboljih izdanja svih vremena. Diskografija Meljnikova takođe uključuje dela Bramsa, Rahmanjinova, Šostakoviča i Skrjabina. Zajedno sa Izabel Faust, Žan-Gijen Kejrasom, Pablom Heras-Kasadom i Frajburškim baroknim orkestrom, Meljnikov je snimio trilogiju albuma Šumanovih Koncerta i Trija (objavljenim 2015-16) i Betovenovog Trostrukog koncerta (2021). Ostala izdanja uključuju integralan snimak Klavirskih sonata Prokofjeva, te Četiri komada, četiri klavira, izdat 2018. godine i visoko ocenjen od strane kritike. Nakon toga, 2023. godine usledio je i njegov novi album Fantazija – sedam kompozitora, sedam klavijatura, na kojem Meljnikov program tumači na instrumentima iz epoha u kojima su kompozicije na ovom izdanju i nastale.

Vrhunac sezone 2023/24 je koncertna turneja Aleksandra Meljnikova u Australiji sa Simfonijskim orkestrima iz Melburna i Sidneja, zatim njegova rezidencija kao Umetnik u fokusu u Kelnskoj filharmoniji, nastupi sa orkestrom Fransoa-Gzavijea Rota Les Siècles (Vekovi), koncerti sa orkestrima kao što su Bavarski državni orkestar, Simfonijski orkestar iz Atlante, Simfonijski orkestar Finskog radija, Londonska filharmonija, Kamerni orkestar Maler, Minhenski kamerni orkestar, ili barokni orkestar B-Rok iz Belgije, kao i saradnje sa Maksimom Emeljančevim, Anjom Bilmajer, Vladimirom Jurovskim, Nikolasom Kolonom i Osmom Vanskom, između ostalih.

Aleksandar Meljnikov takođe nastavlja da se bavi kamernom muzikom sviranjem u različitim ansamblima, sa partnerima kao što su Izabel Faust, Antoan Tamestit i Žan-Gijen Kejras, a sa ovim ansamblima nastupa u Filharmoniji u Parizu, Filharmoniji Luksemburga, Filharmoniji u Kelnu, Muzikgebauu u Amsterdamu, Mocarteumu u Salcburgu, na Muzikfestu u Berlinu, na Rurskom klavirskom festivalu i u Vigmor Holu u Londonu.

Solistički koncerti u Berlinskoj filharmoniji, Topan Holu u Tokiju, Vigmor Holu, Muzikgebauu u Amsterdamu ili Princ Regenten Teatru u Minhenu, zaokružiće sezonu Aleksandra Meljnikova ove godine.